Les propriétés mathématiques à retenir pour les concours

Algèbre

Soit \(f\) un endomorphisme, \(\text{Im}(f^2) \subset \text{Ker}(f) \Rightarrow f^3 = 0\).
Cette implication se démontre facilement et se révèle souvent très utile lorsque les correcteurs nous font étudier et comparer l’image et le noyau d’endomorphismes.

Si \(g\) est un endomorphisme de \(E\), alors on a : \(\text{rg}(g) = \dim(E)\).
Cela découle directement du cours, mais on a parfois tendance à l’oublier. Alors que cette propriété te permet de répondre en trois secondes et d’éviter de te lancer dans des calculs inutiles.

Si les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables, alors : \(\text{Tr}(A) = \text{Tr}(B)\) et \(\forall k \in \mathbb{N}, \text{Tr}(A)^k = \text{Tr}(B)^k\).

Les matrices \(A\) et \(B\) sont inversibles si et seulement si la matrice \(AB\) est inversible.
Cette propriété n’est pas vraiment au programme, mais je sais qu’aux concours, je me suis permis de l’utiliser sans la démontrer et qu’elle m’a permis de débloquer pas mal de questions !

Soit \(A\) la matrice représentative de l’endomorphisme \(f\). Alors \(A\) est inversible si et seulement si \(f\) est un endomorphisme bijectif.
Si cela peut te paraître très classique, tu n’imagines pas le nombre de fois où les étudiants l’oublient et se lancent dans des preuves interminables au lieu de conclure en deux lignes.

L’intersection (finie ou infinie) d’une famille de sous-espaces vectoriels du \(\mathbb{R}\)-espace-vectoriel \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Pas de panique si on te demande de donner un tel résultat, c’est du cours. Et cela te permettra d’aller beaucoup plus vite et sans erreurs.

Soit la matrice carrée \(M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}\), alors le polynôme \(P(X) = X^2 – \text{Tr}(A)X + det(M)\) est un polynôme annulateur de \(M\).
C’est donc extrêmement pratique si on te demande d’étudier les valeurs propres de la matrice \(M\) !

Toute forme linéaire non nulle est surjective.
Si on te demande de montrer qu’un endomorphisme est surjectif, tu peux prendre le réflexe de vérifier si tu n’as pas affaire à une forme linéaire non nulle (après avoir étudié son rang, si tu te trouves en dimension finie, bien sûr).

Si \(p\) et \(q\) sont deux projecteurs associés, on a alors : \(p \circ q = q \circ p = 0\).
Cela fait partie des propriétés mathématiques à retenir, car celle-ci est toujours très utile lorsque tu dois montrer des formules entre projecteurs.

De même, pour deux projecteurs associés, on a : \(p + q = id\).

Multiplier un produit de matrice par une matrice inversible ne modifie pas le rang de la matrice initiale. C’est-à-dire : pour toutes matrices \(B\) et \(C\) et pour toute matrice \(A\) inversible, on a : \(\text{rg}(BC) = \text{rg}(ABC)\).
Encore une fois, cette propriété n’est pas au programme. Mais si tu en as besoin, tu pourras te permettre de l’utiliser sans la redémontrer. Et crois-moi, elle peut s’avérer très utile.

Analyse

Pour tout entier naturel \(n\), toute partie non vide de \(\mathbb{R}^{n}\) et majorée (respectivement minorée) admet une borne supérieure (respectivement inférieure).
C’est une propriété classique du programme que l’on oublie parfois, alors qu’elle nous évite de partir dans des raisonnements compliqués et souvent interminables. Lorsque l’on commence à te parler de borne inf ou sup, garde-la bien à l’esprit et prend le réflexe de toujours vérifier si tu te trouves dans ces conditions.

\(\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\vert xy\vert \le \frac{x^2 + y^2}{2}\).
Cette formule, qui se démontre facilement grâce aux identités remarquables, est très utile en analyse comme en proba. En effet, grâce à elle, tu pourras démontrer que si les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) admettent chacune un moment d’ordre \(2\), alors la variable aléatoire \(XY\) admet une espérance.

\(\forall n \in \mathbb{N}, \forall k \le n, \displaystyle {{2n}\choose{n}}=\sum^n_{k=0} {{n}\choose{k}}^2 \).
Cette formule, que tu peux facilement démontrer à l’aide de la formule de Vandermonde, te sera très utile en cas d’exercice ou de questions de dénombrement.

\(\forall a \in \mathbb{R}, \vert a \vert \ge a\) \(ie\) \(\forall a \in \mathbb{R}, \vert a \vert -a \ge 0\).
Petite formule à laquelle on ne pense pas souvent et qui pourtant peut s’avérer très pratique pour réussir à démontrer certaines relations et inégalités.

\(\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}, \vert \arctan(x) – \arctan(y) \vert \le \vert x – y \vert \).
Bien qu’elle découle directement de l’inégalité des accroissements finis (IAF), on oublie souvent cette inégalité, alors qu’elle permet d’aller très vite dans les études de la fonction \(\arctan\) que les concepteurs aiment beaucoup.

Probabilités

Si la variable aléatoire \(X\) admet une variance et que \(V(X) = 0\), alors \(X\) est une variable constante presque sûrement.
Une propriété de ton cours à bien retenir pour avancer rapidement sur certaines petites questions dissimulées dans les sujets.

Soit \(\phi\) une densité de probabilité d’une variable aléatoire suivant une loi normale, alors \(\phi\) est une fonction paire et on peut montrer que : \(\forall x \in \mathbb{R}, \phi'(x) = -x\phi(x)\).
Étant donné que l’étude des lois normales et de leurs densités revient sans cesse dans les sujets de mathématiques aux concours, il est toujours très utile de garder ça en tête pour réussir ces questions et gagner du temps !

Pour une suite de réels \((x_{i})_{i \in I}\) classés dans l’ordre croissant, et pour \(X\) une variable aléatoire, on a : \(P(X= x_{i}) = P(X \le x_{i}) – P(X \le x_{i-1}) \).

On a : \(\forall k \in \mathbb{N}, P(X=k) = P(k-\frac{1}{2}<X\le k + \frac{1}{2})\).
À nouveau, garde bien en tête ces deux dernières formules. Ce sont clairement des propriétés mathématiques à retenir, car elles m’ont été plusieurs fois d’une grande aide pour réussir à démontrer les résultats attendus aux concours ou dans les annales. Elles te permettront sans aucun doute de te simplifier la vie dans l’étude des probabilités !

À présent, tu possèdes de nouvelles clés et de nouveaux outils pour réussir à répondre aux questions sur les propriétés mathématiques que les correcteurs pourraient avoir envie de te poser !

D’ailleurs, si tu veux continuer à t’entraîner et à découvrir d’autres tips, consulte ces articles :