Quels que soient les sujets de concours, une chose est sûre et certaine : les probabilités sont de mise. En effet, elles sont souvent redoutées à cause de leur caractère intuitif pour certains et impossible à saisir pour d’autres. Cependant, si le concept d’une forte intuition en mathématiques se fonde sur des faits avérés, le mythe le plus commun est que l’on ne peut pas affûter son intuition mathématique. C’est ce que l’on traitera dans cet article.
Énoncé du problème
Voici l’énoncé d’une question courte d’oral posée à l’ESCP en 2006 pour les étudiants de voie S, mais totalement accessible aux élèves de voie ECG Maths appliquées.
Tout d’abord, comme tous les exercices, il faut comprendre l’énoncé et se l’approprier le plus possible. Voici déjà un petit sommaire de toutes les informations disponibles et utiles :
- Il y a 2n boules en tout.
- Il y a équiprobabilité dans les tirages.
- On tire les boules deux par deux.
Première étape
Il faut déjà savoir ce que l’on veut. En effet, on peut raisonner de plusieurs façons, mais sans doute la plus simple est de penser à la probabilité cherchée comme le quotient du nombre des cas qui conviennent et satisfont la condition des paires bicolores sur le nombre des cas totaux.
Le plus simple, et souvent le plus aisé, est de déterminer l’ensemble des cas, soit le dénominateur. Ce qui nous aidera ensuite, n’ayant que le numérateur à décortiquer ou à trouver, dépendant des cas.
Ici, le total des cas n’est pas difficile à voir puisqu’il est au dénominateur et rien d’autre n’y est. De plus, cela est cohérent avec le calcul suivant : le nombre de permutations de paires de boules est égal au nombre de permutations de boules simples pour ces 2n boules, étant donné qu’on peut faire « comme si » on regroupait les boules tirées individuellement par deux. On voit bien qu’intuitivement, cela ne change rien.
Résolution
Ensuite, on va tenter d’identifier les termes du nominateur :
- (n!)2 : Il faut toujours se demander comment on ferait pour traduire concrètement une situation en probabilités. Ici, il est assez simple de voir comment on pourrait le faire :
- On tire d’abord une boule d’une des deux couleurs et ainsi, on a n
- On tire une boule de l’autre couleur et ainsi, on a n
- En tout n² est le nombre de cas jusqu’ici
- On répète le processus des deux étapes
- On s’aperçoit que, quel que soit l’ordre des tirages, on obtient pour chaque paire les termes qui, multipliés, donneront le terme souhaité
- 2n : Cependant, quid de ce terme ? Il ne semble rien évoquer ?
- C’est normal ! C’est une question d’oral et c’est ce qui rend cet exercice difficile ! Évidemment, la difficulté est aussi dans la rédaction des réponses qui nécessite en elle-même quelques précautions
- Il faut ici se demander : qu’est-ce qui correspond à ce terme ?
- La réponse est : n choix parmi deux options, mais quelles sont ces deux options ?
Pour trouver cette réponse, il faut revenir au terme du dénominateur.
Démarches supplémentaires
Étant donné que cet exercice est un exercice d’oral, il n’est pas choquant de voir des subtilités apparaître, même si l’ajout de celles-ci dans un exercice n’est pas usuel.
Le terme (2n!) renvoie au choix de 2n boules, puis de (2n-1) boules, bref de 2n permutations. Il renvoie donc au nombre de combinaisons de 2n boules numérotées. Il vient donc le constat suivant : il faut que les boules soient numérotées pour que la formule tienne.
Dès lors, il apparaît que le terme 2n ne renvoie qu’au fait que l’ordre des paires de boules tirées importe peu. Il simplifie le dénominateur des combinaisons de boules numérotées qui ne diffèrent que par leur ordre.
Démonstration pratique
« Pour se convaincre », ce qui est toujours une bonne idée, « avec n = 2 » :
- Il y a 2n! = 2² ! permutations en tout :
1432 et ses permutations, 1423, 4132, 4123
1324, 1342, 3124, 3142
1234, 1243, 2134, 2143
Mais aussi, pour changer l’ordre des paires tirées :
3214 et ses permutations, 2314, 3241, 2341
2413, 4213, 2431, 4231
3412, 4312, 3421, 4321
Cela fait bien 24 permutations.
- Il y a 2n = 4 divisions causées par l’ordre des paires (on doit donc trouver 24/4 paires, donc six combinaisons à la fin), ce qui donne le nombre total de tirages de paires si l’on ignore l’ordre des paires :
Ce sont les six combinaisons au début de chaque ligne, par exemple !
1432, 1324, 1234, 3214, 2413, 3412.
- Il y a (n!)² = 2²=4 paires bicolores parmi ces six paires.
Mettons que 1 et 4 sont noires et 2 et 3 blanches.
Les combinaisons de paires bicolores sont donc :
1324, 1234 , 2413, 3412.
Conclusion
Les exercices d’oraux ne doivent pas faire peur. Après tout, il faut se souvenir que dans ces exercices, il n’y a que trois notes : une bonne, supérieure à 14, une moyenne, entre 8-12, et une mauvaise.
Il faut se souvenir des exercices faits pendant l’année et ne pas paniquer le jour J afin de permettre un bon déroulement de l’oral de mathématiques.
