Dans cet article, nous allons traiter une notion de probabilité. Nous allons nous pencher sur l’intervalle de confiance et voir la méthode pour la déterminer. C’est une question que l’on retrouve assez souvent dans les annales et que tu reverras même dans tes cours de stats en école. Autant bien la maîtriser…
Intervalle de confiance : première approche
Lorsque nous effectuons des mesures ou des échantillonnages dans le domaine de la statistique, il est crucial de quantifier la fiabilité de nos résultats. C’est là qu’intervient le concept d’intervalle de confiance, une notion essentielle pour interpréter correctement nos données et prendre des décisions éclairées.
Un intervalle de confiance est une plage de valeurs dans laquelle nous croyons, avec un certain niveau de confiance, que se trouve la véritable valeur d’un paramètre statistique. Ce paramètre peut être la moyenne d’une population, la proportion d’une caractéristique, ou tout autre aspect mesurable.
Ainsi, lorsque l’on fait un sondage, on obtient une estimation d’un résultat, d’une élection, etc. Cela n’assure toutefois pas que ce chiffre soit vérifié par la suite. L’intervalle de confiance permet de voir dans quelle mesure l’estimation devrait être fiable.
Différents niveaux de confiance
Le niveau de confiance est une mesure de la fiabilité de l’intervalle que nous construisons. Il est généralement exprimé en pourcentage tel que 95 %, 90 %, ou 99 %.
Par exemple, si nous disons que nous avons un intervalle de confiance de 95 % pour une moyenne, cela signifie que nous sommes 95 % certains que la véritable moyenne de la population se situe à l’intérieur de cet intervalle.
Dans tous les exercices, on t’indiquera la valeur \(\alpha\) que l’on choisit. Il s’agit du niveau de risque que l’on prend. Le niveau de confiance est ensuite égal à \(1-\alpha\).
Définition mathématique
Soit un caractère présent dans une population avec proportion \(p\). Soit un échantillon de \(N\) éléments de cette population pour laquelle le caractère a été observé avec fréquence \(f\).
On appelle intervalle de confiance à un niveau de confiance \(\alpha\) réalisé à partir de cet échantillon tout intervalle contenant \(p\) avec une probabilité supérieure ou égale à \(\alpha\).
Exemple pratique
Supposons que nous mesurons la durée de vie d’une ampoule et que nous obtenons une moyenne de 1 500 heures avec une erreur standard de 50 heures. Si nous choisissons un niveau de confiance de 95 % avec un coefficient critique de 1,96 pour une distribution normale, notre intervalle de confiance serait de :
, soit entre 1 402 et 1 598 heures.
Étapes pour calculer un intervalle de confiance
Présentation
Le premier pas consiste à choisir un échantillon représentatif de la population. Il faut bien que cet échantillon soit choisi aléatoirement. Plus l’échantillon est grand, plus notre intervalle de confiance sera étroit. Ce qui signifie une estimation plus précise du paramètre.
Dans un énoncé, on te donne la valeur de \(N\). En rédigeant, pense bien à dire que \(N\) est assez grand pour être représentatif de la population. Souvent, on considère qu’une valeur supérieure à 30 suffit, mais ce critère n’est pas officiel.
On présente le risque \(\alpha\) et on explique calculer l’intervalle de confiance pour cette valeur.
Calcul de l’estimateur
Ensuite, nous calculons l’estimateur du paramètre que nous cherchons à estimer.
Cela peut être la moyenne, la proportion, ou tout autre indice statistique. On note \(f\) cette valeur.
Choix du coefficient critique
Le coefficient critique dépend d’abord de la distribution de l’estimateur. Pour une distribution normale, par exemple, un coefficient \(z_{\alpha}\) est utilisé.
Tu retrouveras aussi souvent la loi de Student, dans ce cas-là, c’est un \(t_{\alpha}\) que tu chercheras. On cherche en général la valeur de \(P(\alpha)\) dans la table de la loi.
Voir aussi : Comment lire une table de loi normale centrée réduite ?
Calcul de l’erreur standard
Le calcul de l’erreur standard est assez facile.
Calcul de l’intervalle de confiance
Enfin, nous utilisons tous ces éléments pour calculer l’intervalle de confiance en utilisant la formule :
Intervalle de Confiance = [Estimateur ± (Coefficient Critique × Erreur Standard)].
Conclusion
il te faut toujours expliquer les résultats que tu trouves.
N’oublie pas que rien n’est certain et qu’il y a un toujours un risque d’erreur \(\alpha\)…
Pour t’entraîner
Voilà un court exercice pour t’entraîner. On souhaite estimer la durée de vie de batteries.
Un échantillon de 30 batteries a été prélevé et la durée de vie en heures a été mesurée. Construis un intervalle de confiance à 95 % pour la durée de vie moyenne des batteries. Les données sont les suivantes :
La réponse que tu dois trouver est [144 ; 149].
Voici une série d’annales pour aller plus loin :
Finalement, comprendre comment déterminer un intervalle de confiance est essentiel pour interpréter correctement les résultats statistiques. En choisissant un échantillon représentatif, en calculant un estimateur précis et en utilisant le bon niveau de confiance, nous pouvons quantifier la fiabilité de nos résultats et prendre des décisions éclairées basées sur la réalité statistique.
J’espère que cet article t’a paru instructif. Retrouve aussi toutes nos autres ressources en mathématiques en cliquant ici.
