Parfois, quand on parle de variables à densité, ce n’est pas aussi simple que ça en a l’air ! Dans cet article, tu trouveras différentes méthodes pour trouver la loi de \(|X|\), de \(X^{2}\)… et bien d’autres encore. Je te conseille tout d’abord de bien réviser ton cours, afin de mieux comprendre toutes les méthodes présentées ci-dessous.
Dans tout l’article, X est une variable à densité.
1. Comment trouver la loi de la variable aléatoire \(ϕ(X)\) ?
Dans le cas général, si \(X\) est une variable aléatoire à densité et que \(\Phi\) est une fonction définie sur \(X(\Omega)\), pour étudier la loi de \(\Phi(X)\), on commence par chercher sa fonction de répartition.
Après avoir remarqué que \(\Phi(X)\) prend ses valeurs dans \(F=\Phi(X(\Omega))\), on exprime, pour tout \(x\) appartenant à \(F\) l’évènement \([\Phi(X) \le x]\) en fonction d’évènements de la forme \([(X) \le a]\) ou \([(X) > a]\).
2. Comment trouver la loi de la variable aléatoire de \(aX+b\) ?
Si tu cherches à déterminer la fonction de répartition d’une variable aléatoire de la forme \(aX+b\) (avec \(a \in \mathbb{R}^{*}\) et \(b \in \mathbb{R}\), il faut séparer les cas selon le signe de \(a\).
- Si \(a>0\) :
\(\forall x \in \mathbb{R}, P(aX+b \le x)= P\left(X \le \frac{x-b}{a}\right)\)
- Si \(a<0\) :
\(\forall x \in \mathbb{R}, P(aX+b \le x)= P\left(X > \frac{x-b}{a}\right)=1-P\left(X \le \frac{x-b}{a}\right)\)
3. Comment trouver la loi de la variable aléatoire de \(|X|\) ?
Si tu cherches à déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(|X|\), alors :
- Tu dois commencer par déterminer le support de \(|X|\)
Exemple : si \(X(\Omega)=[-4,2]\) alors \(|X|(\Omega)=[0,4]\) et non pas \([2,4]\).
- Ensuite, cherche la fonction de répartition de \(|X|\) en utilisant la propriété de la valeur absolue : \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}, (|X| \le x )=(-x \le X \le x)\)
Donc : \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}, P(|X| \le x )=P(-x \le X \le x)=F_{X}(x)-F_{X}(-x)\)
4. Comment trouver la loi de la variable aléatoire de \(X^{2}\) ?
Si tu cherches à déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(X^{2}\), alors :
- Tu dois commencer par déterminer le support de \(X^{2}\)
Exemple : si \(X(\Omega)=[-3,2]\) alors \(|X|(\Omega)=[0,2]\) (\(X^{2}\) est toujours inclus dans \(\mathbb{R}_{+}\))
- Ensuite, cherche la fonction de répartition de \(|X|\): \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}, (X^{2} \le x )=(-\sqrt(x) \le X^{2} \le \sqrt(x))\)
Attention : il faut bien séparer les cas et étudier la densité pour \(x\) en dehors de l’intervalle de définition de la variable aléatoire.
5. Comment trouver la loi de la variable aléatoire de \(ln(X)\) ?
Si tu cherches à déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(ln(X)\), alors :
- Tu dois commencer par déterminer le support de \(ln(X)\)
Exemple : si \(X(\Omega)=[1,+\infty[\) alors \(ln(X)(\Omega)=[0,+\infty[\)
- Ensuite, cherche la fonction de répartition de \(ln(X)\) en utilisant l’égalité : \(\forall x \in ln(X)(\Omega), (ln(X) \le x)=(X \le \exp(x))\). Cette égalité se justifie par le fait que la fonction exponentielle est une bijection (strictement) croissante de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\)
\(P(ln(X) \le x) = P(X \le \exp(x))=F_{X}(\exp(x))\)
6. Comment trouver la loi de la variable aléatoire de \(e^{X}\) ?
Cela fonctionne à l’inverse du \(\ln\). Si tu cherches à déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(ln(X)\), alors :
- Tu dois commencer par déterminer le support de \(e^{X}\)
Exemple : si \(X(\Omega)=[0,+\infty[\) alors \(e^{X}(\Omega)=[1,+\infty[\)
- Ensuite, cherche la fonction de répartition de \(e^{X}\) en utilisant l’égalité : \(\forall x \in e^{X}(\Omega), (e^{X}\le x)=(X \le \ln(x))\). Cette égalité se justifie par le fait que la fonction logarithme népérien est une bijection (strictement) croissante de \([1,+\infty[\) sur \(\mathbb{R}_{+}\)
7. Comment trouver la loi de la variable aléatoire de \(\lfloor X \rfloor \) ?
Attention : la partie entière d’une variable aléatoire à densité est une variable aléatoire discrète, on ne cherchera donc pas sa fonction de répartition, mais on calculera les probabilités ponctuelles.
- Tu dois commencer par déterminer le support de \(\lfloor X \rfloor\)
Exemples :
– si \(X(\Omega)=\mathbb{R}\) alors \((\lfloor X \rfloor)(\Omega)=\mathbb{Z}\)
– si \(X(\Omega)=\mathbb{R}_{+}\) alors \((\lfloor X \rfloor)(\Omega)=\mathbb{N}\)
- Ensuite, tu te sers de l’encadrement de la partie entière : \(\forall x \in \mathbb{R}, \lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor +1\)
Donc : \(\forall k \in (\lfloor X \rfloor)(\Omega), (\lfloor X \rfloor = k) = (k\le X < k+1)\)
Tu maîtrises maintenant sur le bout des doigts les variables aléatoires à densité… Bon courage pour tes révisions !
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