La suite de Fibonacci est l’une des séquences les plus célèbres des mathématiques, connue pour sa récurrence simple et ses applications variées, notamment en lien avec le nombre d’or \(\varphi\). Toutefois, en modifiant légèrement cette récurrence pour y introduire une composante aléatoire, on obtient la suite de Fibonacci aléatoire, une variante moins connue mais tout aussi fascinante. Dans cette suite, les signes des termes sont déterminés de manière aléatoire, ce qui engendre des comportements dynamiques complexes et imprévisibles. Cet article explore les fondements de cette suite, ses propriétés de croissance, ainsi que ses nombreuses variantes, en mettant en lumière les découvertes mathématiques associées telles que la constante de Viswanath.
Rappel : la suite de Fibonacci classique
Avant d’explorer la version aléatoire, rappelons brièvement les fondements de la suite de Fibonacci classique. La suite de Fibonacci classique \((F_n)\) est définie par la relation de récurrence suivante :
\[
F_n = F_{n-1} + F_{n-2}
\]
avec les conditions initiales \(F_1 = 1\) et \(F_2 = 1\).
Cette suite génère des termes comme \(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots\), et son taux de croissance asymptotique est directement lié au nombre d’or \(\varphi\), où :
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{F_n}{F_{n-1}} = \varphi \approx 1,618
\]
Cette croissance exponentielle est une des caractéristiques les plus marquantes de la suite de Fibonacci classique, et elle joue un rôle central dans de nombreuses applications mathématiques.
Définition de la suite de Fibonacci aléatoire
La suite de Fibonacci aléatoire \((f_n)\) est une extension probabiliste de la suite classique. Elle est définie par la relation de récurrence suivante :
\[
f_n = \pm f_{n-1} \pm f_{n-2}
\]
Dans cette récurrence, chaque signe \(\pm\) est choisi indépendamment avec une probabilité égale de \(1/2\). Les conditions initiales restent généralement \(f_1 = 1\) et \(f_2 = 1\), bien que d’autres choix soient possibles. Ce caractère aléatoire introduit une variabilité dans les termes de la suite, ce qui entraîne des comportements dynamiques plus complexes comparés à ceux de la suite classique.
Illustration et exemple
Supposons que nous générons les premiers termes d’une suite de Fibonacci aléatoire par un tirage au sort des signes :
\[
1, 1, -2, 3, 1, -4, -3, 1, -4, \dots
\]
Chaque terme est obtenu en ajoutant ou en soustrayant aléatoirement les deux termes précédents. Contrairement à la suite classique qui croît régulièrement, cette version aléatoire présente des oscillations et un comportement imprévisible.
Représentation matricielle et décomposition
Pour mieux comprendre la dynamique de la suite de Fibonacci aléatoire, on utilise une représentation matricielle. Si l’on définit le vecteur colonne suivant :
\[
\begin{pmatrix}
f_{n-1} \\
f_{n}
\end{pmatrix}
\]
ce vecteur peut être obtenu à partir du vecteur précédent via une matrice de transition aléatoire \(M_n\) définie par
\[
\begin{pmatrix}
f_{n-1} \\
f_{n}
\end{pmatrix}
= M_n \cdot
\begin{pmatrix}
f_{n-1} \\
f_{n-2}
\end{pmatrix}
\quad \text{où} \quad M_n =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
\pm 1 & \pm 1
\end{pmatrix}
\]
Le produit de ces matrices aléatoires permet de modéliser la séquence entière :
\[
\begin{pmatrix}
f_n \\
f_{n-1}
\end{pmatrix}
= M_n M_{n-1} \dots M_2 M_1
\begin{pmatrix}
f_1 \\
f_0
\end{pmatrix}
\]
Cette approche matricielle est utile pour analyser la croissance de la suite et ses propriétés probabilistes.
Taux de croissance de la suite de Fibonacci aléatoire
Le taux de croissance de la suite de Fibonacci classique est bien connu et est directement lié au nombre d’or \(\varphi\), comme exprimé par la formule de Binet :
\[
F_n = \frac{\varphi^n – (- \varphi)^{-n}}{\sqrt{5}}
\]
Pour la suite de Fibonacci aléatoire, le comportement est plus complexe. En 1960, Hillel Furstenberg et Harry Kesten ont étudié une classe générale de produits de matrices aléatoires, démontrant que la norme de ces produits croît à un taux exponentiel \(\lambda^n\), où \(\lambda\) est une constante spécifique. Cette découverte s’applique également à la suite de Fibonacci aléatoire.
Viswanath a démontré en 1999 que, presque sûrement, la suite de Fibonacci aléatoire suit une croissance exponentielle caractérisée par une constante \(\lambda\), désormais connue sous le nom de constante de Viswanath. Cette constante est approximativement égale à :
\[
\lambda \approx 1,13198824
\]
Ce résultat utilise des outils issus de la théorie des matrices aléatoires, notamment le calcul de l’exposant de Lyapunov, et fait appel à des notions telles que les mesures fractales. Ce taux de croissance montre que, malgré l’aléatoire, la suite conserve une régularité asymptotique similaire en structure à la suite de Fibonacci classique, mais avec des caractéristiques distinctes dues à la variabilité inhérente.
Variantes et extensions
Il existe plusieurs variantes de la suite de Fibonacci aléatoire. Par exemple, au lieu de simplement ajouter ou soustraire les termes précédents, on peut introduire un facteur multiplicatif \(\beta\) dans la récurrence :
\[
f_n = f_{n-1} \pm \beta f_{n-2}
\]
Le choix de \(\beta\) influence directement la dynamique de la suite. De même, on peut envisager des versions où les probabilités associées aux signes \(\pm\) ne sont pas égales, ce qui peut conduire à des comportements encore plus diversifiés et complexes. La constante d’Embree-Trefethen est une valeur critique dans le comportement des suites aléatoires pour la relation de récurrence ci-dessus.
Aller plus loin sur la suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci est à l’origine de nombreuses recherches et nombreux problèmes mathématiques. Pour y voir plus clair, voici une cartographie de l’ensemble des recherches tournant autour de la suite de Fibonacci (et du nombre d’or) :
| Tableau de correspondances suites/nombres (en lien avec Fibonacci/nombres métalliques) |
|
| Suites | Nombres |
| Suite de Fibonacci | Nombre d’or |
| Suite de Pell | Nombre d’argent |
| Généralisation de Fibonacci : les suites k-bonacci | Nombres métalliques : généralisation du nombre d’or |
| Suite de Lucas | Nombre de Lucas |
| Suite de Padovan | Nombre plastique |
| Suite de Perrin | Nombres pseudo-premiers de Perrin |
| Suite de Jacobsthal | Nombres oblongs de Jacobsthal |
| Polynôme/suite de Narayana | Nombre de Narayana |
| Nombre de Gildas | |
| Nombre de Keith | |
| Super nombre d’or | |
Conclusion
La suite de Fibonacci aléatoire est un exemple fascinant de l’introduction du hasard dans un cadre mathématique déterministe. En modifiant légèrement la récurrence de la suite de Fibonacci classique, on obtient une séquence aux propriétés dynamiques et probabilistes riches, marquée par des constantes mathématiques uniques comme la constante de Viswanath. Les variantes possibles offrent encore de nombreuses pistes d’exploration, faisant de cette suite un sujet d’étude captivant à l’interface entre l’analyse des processus stochastiques et la théorie des suites récurrentes.
Ainsi, bien que cette notion soit hors programme, la compréhension approfondie de cette dernière te permettra d’améliorer tes compétences en analyse et en probabilités, te préparant donc pour les épreuves écrites et orales de mathématiques. Pour t’entraîner sur cette notion, tu peux réaliser les sujets suivants :
- Ecricome 2018 (mathématiques approfondies),
- Maths 1 HEC 2009 (mathématiques appliquées),
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