L’étude des suites est un thème assez classique des sujets de concours. Or, s’il y a bien une suite qui revient assez fréquemment, c’est bien la suite arithmético-géométrique. Dans cet article, on passe en revue tout ce qu’il faut savoir sur cette dernière ; sa définition, sa convergence, ses propriétés, etc. Promis, elle n’aura plus de secret pour toi !
Qu’est-ce qu’une suite arithmético-géométrique ?
On dit que \((u_n)_{ n \in\mathbb{N}}\) est une suite arithmético-géométrique s’il existe \((a,b)\in\mathbb{R^2}\) , \(a\ne 0\), tels que \(u_{n+1}=au_n + b.\)
On parle de suite \(\color{red}{arithmético}\)-\(\color{blue}{géométrique}\) car on retrouve dans la relation de récurrence \(\color{blue}{au_n}\), comme pour une suite géométrique, et \(\color{red}{+b}\), à l’instar d’une suite arithmétique.
Ainsi, si \(a=1\), on a \(u_{n+1}=u_n + b\), donc \((u_n)\) est une suite arithmétique.
Et sin \(b=0\), alors \(u_{n+1}=au_n\), donc \((u_n)\) est une suite géométrique.
Pour la suite de l’article, on considérera que \(a\ne 1\) et \(b\ne 0\).
Déterminer le terme général d’une suite arithmético-géométrique
Maintenant, nous allons voir comment, à partir de la relation de récurrence d’une suite arithmético-géométrique et de son premier terme \(u_0\), on peut déterminer le terme général de cette suite, c’est-à-dire l’écrire sous la forme : \(u_n=truc_{(n)}.\)
On se donc une suite \((u_n)\) qui vérifie la relation de récurrence d’une suite arithmético-géométrique, avec pour premier terme \(u_0\)
1ère étape : on considère l’équation caractéristique \(x = ax + b.\)
On reprend la relation de récurrence et on remplace \(u_{n+1}\) et \(u_n\) par \(x\). On a alors cette équation : \(x = ax + b.\)
On cherche ensuite à résoudre cette équation, c’est-à-dire trouver la valeur de \(x\).
Ainsi, on a :
\(\begin{align} x = ax + b &\Leftrightarrow x -ax = b \\&\Leftrightarrow x(1-a) = b \\ &\Leftrightarrow x = \frac{b}{1-a} \end{align}\)
Pour la suite, on note \(l = \displaystyle \frac{b}{1-a}. \)
2e étape : on considère une suite géométrique et on l’étudie.
Maintenant, on pose une suite \((v_n)\) qui est de terme général \(v_n = u_n – l.\)
Vérifions que la suite posée est bien géométrique :
\(\begin{align}v_{n+1} &= u_{n+1} – l \\ &= au_n + b – \frac{b}{1-a} \\ &= au_n + \frac{b(1-a)}{1-a} – \frac{b}{1-a} \\ &= au_n – \frac{ba}{1-a} \\ &= a\left(u_n – \frac{b}{1-a}\right) \\&= av_n\end{align}\)
Donc \(v_n\) est bien une suite géométrique de raison \(a.\)
On peut donc utiliser la formule propre aux suites géométriques qui nous permet d’obtenir son terme général, c’est-à-dire \(v_n = a^nv_0.\)
3e étape : on refait apparaître les \(u_n\)
Dans la formule que l’on vient de trouver, il faut maintenant écrire les \(v_n\) en fonction de \(u_n.\)
On réutilise donc la formule suivante : \(v_n = u_n – l.\)
On a alors \(u_n – l = a^n(u_0-l).\)
En additionnant \(l\) des deux côtés, on a enfin : \(u_n = a^n(u_0-l) + l\)
Application de la méthode sur un exemple concret
On se donne une suite \((u_n)\) avec comme premier terme \(u_0 = 1\), a = 2 et b = 3.
On a donc \(u_{n+1} = 2u_n + 3\)
On pose l’équation caractéristique, ce qui nous donne :\(x = 2x +3\)
Ensuite, on résout d’équation :
\(\begin{align}x = 2x +3 &\Leftrightarrow -x = 3 \\&\Leftrightarrow x =-3\end{align}\)
(À noter qu’en utilisant la formule \(l = \displaystyle \frac{b}{1-a}\), on trouve bien \(x = \displaystyle \frac{3}{1-2} = -3\)
Maintenant, on pose \(v_n = u_n – (-3) = u_n + 3.\)
On a bien :
\(\begin{align} v_{n+1} &= u_{n+1} + 3\\&=2u_n + 3 + 3 \\ &= 2(u_n + 3) \\ &= 2v_n\end{align}\)
Donc \(v_n\) est une géométrique de raison 2
On a alors \(v_n = 2^nv_0\)
On utilise la formule qui lie \(u_n\) avec \(v_n\), ce qui nous donne :
\(u_n + 3 = 2^n(u_0 +3)\)
Enfin, on a, après avoir soustrait 3 des deux côtés et utilisé la valeur de \(u_0\) :
\(u_n = 2^n4 – 3 = 2^{n+2} – 3\)
On a donc trouvé la formule du terme général de la suite \((u_n).\)
Convergence et divergence d’une suite arithmético-géométrique
Il est facile de savoir si une suite arithmético-géométrique converge ou diverge. En effet, pour déterminer cela, il suffit d’utiliser la formule du terme général d’une suite arithmético-géomatrique \((u_n)\), c’est-à-dire \(u_n = a^n(u_0-l) + l.\)
On distingue aisément 3 cas :
- Si \( a > 1\), \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\) ou \(-\infty\), en fonction du signe de \(u_0 – l.\)
- Si \(|a| < 1 \), \((u_n)\) converge vers \(l.\)
- Si \( a \le -1\), la suite diverge car elle n’admet pas de limite en \(+\infty.\)
Les suites arithmético-géométriques en Python
Le codage d’une suite arithmético-géométrique en Python est une question assez classique et très simple, qui permet de gagner pas mal de points aux concours. Ci-dessous, je te présente un programme qui permet de calculer le terme \(n\) d’une suite arithmético-géométrique :
Pour cette suite arithmético-géométrique, j’ai posé \(u_0 = 1, a=2\) et \(b=3\) ; il suffit donc de modifier ces valeurs pour généraliser ce programme.
La ligne 2 correspond au terme \(u_0\) de la suite arithmético-géométrique, la ligne 3 et 4 permettent d’appliquer successivement la relation de récurrence qui définit une suite arithmético-géométrique.
Ainsi, on remarque que sur Python, il n’est pas nécessaire de connaître la formule du terme général de la suite \((u_n)\).
Toutefois, si on l’a, on peut écrire un programme encore plus court :
J’ai conservé les mêmes valeurs pour \(a, b\) et \(u_0.\)
Conclusion
Ainsi, nous avons vu tout ce qu’il y avait à savoir sur les suites arithmético-géométriques. Désormais, tu as tout ce qu’il faut pour réussir les questions d’informatique et de mathématiques qui portent sur cette notion.
Si tu souhaites t’entraîner sur des annales qui comportent des exos en lien avec les suites, je te recommande ceux-ci
- Ecricome Maths appronfondies 2022 : Exo 1
- Edhec Maths approndondies 2017 : Exo 1
- EMLyon Maths appliquées 2020 : Exo 1, Partie B
Tu peux également revoir la méthode pour trouver la formule du terme général d’une suite arithmético-géométrique dans cette vidéo : il y a même un autre exemple !
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