La notion de variables est essentielle en mathématiques. Elle est plutôt simple et pourtant souvent mal maîtrisée par les candidats, ce qui peut coûter très cher aux concours ! Dans cet article, je te propose de voir tout ce qu’il faut savoir sur les variables.
C’est quoi une variable ?
Généralités
En logique mathématique, une variable est un objet a priori indéterminé, généralement représenté par une lettre.
Le fameux “\( x \)” que l’on cherche souvent à déterminer est une variable. Tu es donc déjà familiarisé(e) avec cette notion. Il ne te manque plus qu’à la formaliser.
Variables muettes et parlantes
Il te faut connaître cette distinction primordiale entre les variables dites « muettes » et les variables dites « parlantes ».
Une variable est dite muette lorsqu’elle peut être remplacée par une autre variable sans changer la valeur de l’expression. Elle est souvent introduite par un quantificateur universel « pour tout », ou elle se trouve en tant que variable de sommation, par exemple.
Une variable est dite parlante lorsqu’elle ne peut pas être remplacée par une autre variable sans changer la valeur de l’expression. Elle est souvent fixée : soit \(x \in \mathbb R\) , par exemple.
Exemples concrets
Soit \( n \in \mathbb{N} \).
Dans l’expression \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1} \), la variable \( k \) est muette puisqu’en réalité, l’expression \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n+1} \) ne dépend pas de \( k \). \( k \) n’a qu’une fonction purement symbolique. En revanche, la variable \( n \) est parlante, car \( n \) est un paramètre de l’expression qui a été fixé. Si l’on change la valeur de \( n \), alors on change également la valeur de \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1} \).
De même, lorsque l’on écrit \( \forall n \in \mathbb N, U_n=5\), ici, la variable \(n\) a été introduite par le quantificateur pour tout, donc elle est dite muette. De ce fait, elle n’est pas fixée et elle a également un nom purement symbolique. On peut donc très bien se permettre de reprendre la même expression, et de l’écrire avec une autre variable :
\( \forall k \in \mathbb N, U_k=5\)
\( \forall z \in \mathbb N, U_z=5\)…
Variables de sommation
Les variables dites de « sommation » sont toujours muettes. Ainsi l’indice de sommation dans une somme ou dans une intégrale est toujours muet. On peut donc les remplacer par d’autres variables sans changer la valeur de l’expression.
Ce qu’il faut absolument savoir
Conseils de notation
Une variable doit être correctement introduite avant d’être manipulée. On ne doit jamais trouver un \( x \) dans une copie qui n’a pas été introduit préalablement. On peut introduire une variable par une phrase explicative : « Soit \( x \) un réel strictement positif tel que… ». Ou bien, on pourra s’aider des quantificateurs.
Il existe certaines conventions en ce qui concerne le choix des variables. Si \( x\) représente généralement un réel, \( k \) ou \( n \) ou encore \( l \) ou \( i \) représentent plus souvent des nombres entiers. On préférera \( X \), \( A \) ou toute autre lettre majuscule pour les matrices et les variables aléatoires.
Variables et quantificateurs
Une variable introduite par un quantificateur existentiel est considérée comme parlante.
Une variable introduite par un quantificateur universel est considérée comme muette.
N’hésite pas à consulter toutes nos ressources de mathématiques !
