Calculer les puissances d’une matrice est évidemment un savoir-faire indispensable en prépa ECG. Je parle ici d’une puissance “\(n\)”, et je laisse donc de côté le calcul matriciel classique permettant pour une matrice \(A\) de calculer \(A^{2}\) ou \(A^{3}\). Je te récapitule ici les différentes méthodes que tu as à ta disposition pour calcul \(A^{n}\), quel que soit \( n \in \mathbb{N} \).
La conjecture des puissances
Tu peux tout d’abord apprendre à conjecturer grâce à cet article.
Soit \( n \in \mathbb{N} \).
Pour toute matrice \(A \in \mathcal{M}_{n} (\mathbb{R})\), tu peux calculer les quelques premières puissances, puis conjecturer la « forme » de la matrice \(A^{n}\) en toute généralité sur \(n\). Il faut ensuite démontrer ta conjecture par récurrence.
L’exemple classique
Une conjecture que tu te dois de connaître par cœur est celle qui va avec la matrice \( J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \) (cette matrice se nomme la matrice Attila). Avec cette matrice, on a :
\( J^{2} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 3\end{pmatrix} \ \text{et} \ J^{3} = \begin{pmatrix} 9 & 9 & 9\\ 9 & 9 & 9\\ 9 & 9 & 9\end{pmatrix} \).
Tu l’auras sûrement deviné, la conjecture à faire ici est que : \( \forall k \in \mathbb{N^*}, J^{k} = 3^{k-1}J \). Tu ne peux ici généralement pas te permettre une récurrence immédiate, car cela reviendrait à affirmer quelque chose sans aucun fondement.
Rédaction appropriée pour démontrer ce genre de conjecture
Montrons par récurrence que \( \forall k \in \mathbb{N^*}, J^{k} = 3^{k-1}J \).
Initialisation
La base de la récurrence est le cas \( k = 1 \) :
\[ J^{1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
La propriété est donc initialisée au rang \( k=1 \).
Hérédité
Supposons que la conjecture est vraie pour un certain entier \( k \geq 1 \), c’est-à-dire que \( J^{k} = 3^{k-1}J \). Nous allons maintenant prouver que la conjecture est également vraie pour \( k+1 \).
\[
\begin{aligned}
J^{k+1} &= J^{k} \cdot J \quad \text{(définition de la puissance)} \\
&= 3^{k-1}J \cdot J \quad \text{(par hypothèse de récurrence)} \\
&= 3^{k-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\
&= 3^{k-1} \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \\
&= 3^{k-1} \cdot 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\
&= 3^{k} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\
&= 3^{k}J
\end{aligned}
\]
Ainsi, la conjecture est vraie pour \( k+1 \). Par conséquent, d’après le principe de récurrence, la conjecture est vraie pour tout \( k \in \mathbb{N^*} \).
Utiliser les relations entre certaines matrices
Cette méthode de la conjecture peut aussi servir dans certains énoncés qui te mettent sur la piste. Par exemple, avec \( A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \), l’énoncé pourrait te faire calculer \( B = A – I_2 \), puis les puissances de \(B\), et ce dans le but de déterminer les puissances de \(A\).
De fait, \( B = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -3 & -3 \end{pmatrix} \ \text{et on a que} \ B^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \).
Ainsi,
\( \begin{align*}
A &= B + I_2 \\
A^{2} &= (B + I_2) \times (B + I_2) = B^{2} + 2B + I_2 = 2B + I_2 \\
A^{3} &= (2B + I_2) \times (B + I_2) = 2B^{2} + 3B + I_2 = 3B + I_2
\end{align*} \)
Et je te laisse le soin de démontrer par récurrence que \( \forall n \in \mathbb{N}, A^{n} = nB + I_2 \).
Les matrices remarquables
Soit \( n \in \mathbb{N} \).
Je vais ici te présenter certains « types » de matrices \(A\) qui te permettront de rapidement calculer \(A^{n}\).
Matrices diagonales
Les matrices diagonales sont remarquables en ce que si \(A\) est diagonale, alors pour trouver \(A^{n}\), il suffit d’élever à la puissance \(n\) tous les coefficients diagonaux de A.
Ainsi, si \(A=\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c\end{pmatrix} \ \), alors \(A^{n} = \begin{pmatrix} a^{n} & 0 & 0\\ 0 & b^{n} & 0 \\ 0 & 0 & c^{n}\end{pmatrix} \).
Matrices nilpotentes
Une matrice est dite nilpotente si elle peut être élevée à une certaine puissance (supérieure à 1) et donner une matrice nulle. Autrement dit, une matrice carrée \(A \in \mathcal{M}_{n} (\mathbb{R})\) est nilpotente s’il existe un entier positif \(k\) tel que \(A^k = \mathcal{O}_{n,n} \).
Il existe plusieurs « types » de matrices que tu peux identifier comme étant nilpotentes :
- les matrices triangulaires supérieures strictes, de la forme \begin{pmatrix} 0 & a & b\\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
- les matrices triangulaires inférieures strictes, de la forme \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0
\\ a & 0 & 0 \\ b & c & 0
\end{pmatrix}
Ces deux types de matrices sont nilpotentes (je te laisse prendre n’importe quel exemple chiffré pour te convaincre). Ainsi, à partir d’un certain rang \(k\), tu vas pouvoir affirmer que \( A^k = \mathcal{O}_{n,n} \). Tu peux souvent déterminer ce rang à la main (par le calcul), puis conclure que toutes les puissances supérieures donnent \( \mathcal{O}_{n,n} \) (démontrable par récurrence).
Évidemment, ces concepts (diagonale et nilpotente) sont généralisables à des matrices \(A \in \mathcal{M}_{n} (\mathbb{R})\), et la conclusion reste la même.
Le binôme de Newton
Soit \(n \in \mathbb{N} \).
Supposons que tu veuilles calculer la puissance \( A^{n} \) d’une matrice carrée \(A\). Tu peux alors commencer par décomposer \(A\) en matrices plus simples. Par exemple, tu peux décomposer \(A\) en une matrice diagonale \(D\) et une matrice \(N\) qui contient les termes hors diagonale de \(A\). Ainsi, nous écrivons \( A=D+N \)
Ensuite, tu peux utiliser le binôme de Newton pour élever \(A\) à la puissance \(n\) :
\( A^{n}=(D+N)^{n} = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} D^{n-k} N^k \)
N.B. : Tu peux choisir judicieusement, selon la situation, quelle matrice tu veux expliciter jusqu’à la puissance \(“n-k”\), et quelle matrice tu veux expliciter jusqu’à la puissance \(“n”\).
Attention : Pour utiliser cette méthode, il faut que tu t’assures que les matrices \(D\) et \(N\) que tu utilises pour décomposer \(A\) commutent, c.-à-d. que \( D \times N = N \times D \).
Tu peux utiliser ce que tu as vu jusqu’alors dans le reste de l’article, puisque ces décompositions se font souvent avec des matrices diagonales et nilpotentes, ou alors avec des matrices dont on connaît déjà la puissance générale grâce à un raisonnement par récurrence que tu auras effectué dans une question précédente.
Exemple
Considérons la matrice \(A\) triangulaire supérieure suivante :
\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 5 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \]
Nous souhaitons calculer la puissance \(A^n\) pour un certain entier positif \(n\). Pour cela, nous allons utiliser le binôme de Newton en décomposant \(A\) en \(D\) et \(N\).
La matrice \(D\) est simplement la matrice \(A\) avec les éléments diagonaux égaux à 3 :
\[ D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \]
La matrice \(N\) est définie comme la différence entre \(A\) et \(D\) :
\[ N = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Maintenant, nous pouvons utiliser le binôme de Newton pour développer \((D + N)^n\) :
\[ (D + N)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} D^{n-k} N^k \]
Calculons les puissances \(D^k\) et \(N^k\) nécessaires pour développer cette somme :
\[ D^k = \begin{pmatrix} 3^{k} & 0 & 0 \\ 0 & 3^{k} & 0 \\ 0 & 0 & 3^{k} \end{pmatrix} \forall k \in \mathbb{N}\]
\[ N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ N^3 = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Puisque \(N^3\) est une matrice nulle, tous les termes de puissance \(N^k\) pour \(k \geq 3\) seront également nuls.
Maintenant, écrivons l’expression de \(A^n\) en utilisant la formule sommatoire du binôme de Newton :
\[ A^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} D^{n-k} N^k \]
\[ A^n = \binom{n}{0} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \\ \binom{n}{1} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}^{n-1} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \binom{n}{2} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}^{n-2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
En développant chaque terme de cette somme, nous obtenons finalement la matrice \(A^n\) :
\[ A^n = \begin{pmatrix} 3^n & 3n3^{n-1} & \frac{n(n-1)}{2}3^{n-1} + 5\frac{n(n-1)}{2}3^{n-2} \\ 0 & 3^n & 2\frac{n(n-1)}{2}3^{n-1} \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix} \]
Ce genre de décomposition est très souvent mise en avant dans les sujets EDHEC/EM, je te conseille donc de t’entraîner pour bien maîtriser le binôme.
La diagonalisation
Méthode faisable seulement à partir de la deuxième année.
Lorsque c’est possible (toutes les matrices ne sont pas diagonalisables), il est possible de calculer les puissances d’une matrice en la diagonalisant. La méthode consiste souvent à trouver une matrice diagonale (puisqu’on a vu que leurs puissances étaient simples à calculer), puis à inverser la relation en passant de \( D = P^{-1}AP\) à \( A = PDP^{-1} \), et enfin à passer le tout à la puissance \(n\) à l’aide d’une simple récurrence.
Cette méthode étant bien plus simple à illustrer qu’à décrire, voici un exemple qui te montre la structure de ce type d’exercice, qui sera presque toujours la même.
Exemple
Soit \(A = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 \\ 0.2 & 0.9 \end{pmatrix}\) et \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\).
Calcul de \(P^2\) et vérification de l’inversibilité de \(P\)
Pour calculer \(P^2\), on effectue le produit matriciel :
\[ P^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 1 \times 2 & 1 \times 1 + 1 \times (-1) \\ 2 \times 1 + (-1) \times 2 & 2 \times 1 + (-1) \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]
Le déterminant de \(P\) est donné par :
\[ \text{det}(P) = \text{det}\left( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \right) = 1 \times (-1) – 1 \times 2 = -3 \]
Comme le déterminant de \(P\) est non nul (\( \text{det}(P) = -3 \neq 0\)), cela signifie que \(P\) est inversible.
Vérification que \(D = P^{-1}AP\) est une matrice diagonale
Pour calculer \(P^{-1}\), on utilise la formule de l’inverse d’une matrice \(2 \times 2\) :
\[ P^{-1} = \frac{1}{\text{det}(P)} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \]
Ainsi, après calcul, on trouve que \(P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0,7 \end{pmatrix} \)
Ensuite, on a l’égalité :
\( \begin{align*}
D = P^{-1}AP &\Leftrightarrow PD = AP \\
&\Leftrightarrow PDP^{-1} = A
\end{align*} \)
Ainsi, on a que :
\( \begin{align*}
\forall n \in \mathbb{N}, A^{n} &= (PDP^{-1})^{n} \\
&= (PDP^{-1}) \times (PDP^{-1}) … \times (PDP^{-1}) \\
&= P \times D \times D … \times D \times P^{-1}, \ \text{car} \ P^{-1}P = I \\
&= PD^{n}P^{-1}
\end{align*} \)
Cette propriété doit normalement être montrée par récurrence, et je te laisse le soin de montrer cette propriété. Tu peux éventuellement te permettre (si tu es déjà avancé dans le sujet et que tu as déjà rédigé des récurrences) d’avancer un argument de « récurrence immédiate » ici.
Finalement, on sait que \(D^{n} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (0,7)^{n} \end{pmatrix}, \forall n \in \mathbb{N} \)
Et au final, on trouve que : \( \forall n \in \mathbb{N}, A^{n} = \begin{pmatrix} \frac{1+2 \times (0,7)^{n}}{3} & \frac{1-(0.7)^{n}}{3} \\ \frac{2-2 \times (0,7)^{n}}{3} & \frac{2+ (0.7)^{n}}{3} \end{pmatrix} \)
Cette méthode est un grand classique des EDHEC/EM, et doit donc être un automatisme si tu veux aborder sereinement ces épreuves.
Les suites
C’est l’avant-dernière méthode que je te propose ici. Utiliser des relations entre les matrices et les suites est un outil classique pour déterminer les puissances d’une matrice.
Le schéma classique pour trouver les puissances d’une matrice \(A\) est le suivant :
- trouver une relation entre trois puissances de \(A\) (généralement, \(A\), \(A^{2}\), et \(A^{3}\)) ;
- généraliser cette relation pour toutes les puissances de \(A\) par récurrence ;
- déterminer le terme général des suites (qui sont les coefficients de ton égalité de matrices) ;
- en déduire les puissances de \(A\).
Exemple
Avec la matrice \(A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\ 6 & -2 & -4 \\ -4 & 1 & 3\end{pmatrix} \)
On se rend compte après calcul que \( A^{3} = 6A – A^{2} \).
On peut en déduire (par récurrence) que : Pour tout \(k \in \mathbb{N^*} \), il existe deux réels \( a_k \ \text{et} \ b_k \) tels que \( A^{k} = a_kA^{2} + b_kA \)
Initialisation
L’initialisation a été réalisée pour \( k = 1 \), puisque \(A = 0 \times A^{2}+ 1 \times A \).
Hérédité
Supposons que la conjecture est vraie pour un certain entier \( k \geq 1 \). Nous allons maintenant prouver que la conjecture est également vraie pour \( k+1 \).
On a donc : \( A^{k} = a_kA^{2} + b_kA \).
Or :
\( \begin{align*}
A^{k+1} &=A^{k} A \\
&=( a_kA^{2} + b_kA) A \\
&=A^{2}(b_k – a_k) + 6a_k A, \ \text{d’apres le résultat portant sur} \ A^{3}
\end{align*} \)
Conclusion
D’après le principe de récurrence : \( \forall k \in \mathbb{N^*}, \exists (a_k, b_k) \in \mathbb{R^2}, A^{k} = a_kA^{2} + b_kA \)
On a donc que : \( \forall k \in \mathbb{N^*}, a_{k+1} = b_k – a_k \ \text{et} \ b_{k+1} = 6a_k \)
Et donc que : \( \forall k \in \mathbb{N^*}, a_{k+2} = 6a_k – a_{k+1} \ \text{et} \ b_{k+1} = 6a_k \)
À partir de là, on peut déterminer successivement les termes généraux des suites \( (a_k) \ \text{et} \ (b_k) \) (avec les théorèmes du cours sur les suites), et on trouve que :
\( \begin{align*}
\forall n \in \mathbb{N^*}, a_n &= \frac{1}{15} (-3)^{n} + \frac{1}{10} (2)^{n} \\
b_n &= 6 \times (\frac{1}{15} (-3)^{n-1} + \frac{1}{10} (2)^{n-1})
\end{align*} \)
On en tire toutes les puissances \(A^{n}\) grâce à l’expression que l’on a trouvée avec la récurrence.
Les polynômes annulateurs
Un dernier classique pour déterminer les puissances d’une matrice : l’utilisation d’un polynôme annulateur. La démarche est la suivante :
- déterminer un polynôme annulateur de la matrice dont on veut avoir les puissances ;
- utiliser le théorème de la division euclidienne dans \( R[X] \) ;
- déterminer les valeurs qui sont les coefficients du « reste » de la division euclidienne (un polynôme généralement noté \(R\)) ;
- en déduire l’expression de la puissance n-ième de la matrice que l’on veut étudier.
Exemple
Cet exemple est tiré du premier exercice de EDHEC 2015 (ECE).
On prend \( C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
On trouve le polynôme annulateur \(P = X^{3} – 2X^{2} – 3X \)
Le théorème de la division euclidienne nous assure que pour tout entier \(n\) non nul, il existe un unique polynôme \(Q_n\) et trois réels \(a_n, b_n, c_n\) tels que : \( X^{n} = (X^{3}- 2X^{2} – 3X)Q_n(X) + a_nX^{2} + b_nX + c_n \).
Les racines de \(P\) sont \( 0, -1 \ \text{et} \ 3 \).
En remplaçant \(X\) par \(0\) dans l’équation \(X^n = (X^3 – 2X^2 – 3X)Q_n(X) + a_nX^2 + b_nX + c_n\), on obtient \(c_n = 0\).
De même, en remplaçant \(X\) par \(-1\), on obtient : \((-1)^n = a_n – b_n + c_n\).
Et en remplaçant \(X\) par \(3\), on obtient : \(3^n = 9a_n + 3b_n + c_n\).
On résout alors le système formé par les trois équations obtenues ci-dessus :
\[
\begin{cases}
c_n = 0 \\
a_n – b_n + c_n = (-1)^{n}\\
9a_n +3b_n +c_n = 3^{n}
\end{cases}
\]
On peut ensuite résoudre ce système pour trouver les valeurs de \(a_n\), \(b_n\) et \(c_n\). Je te laisse calculer les valeurs numériques si tu veux t’entraîner.
On évalue notre égalité polynomiale en \(C\) (en n’oubliant pas que dans le monde des matrices, \(C^{0} = I \) )
Puisque \(P\) est un polynôme annulateur de \(C\), on peut ne considérer que le reste de la division euclidienne, et on a donc finalement :
\[ \forall n \in \mathbb{N^*}, C^{n} = \frac{1}{12} \times (3^{n} + 3(-1)^{n})C^{2} + \frac{1}{12} \times (3^{n} – 9(-1)^{n})C \]
Conclusion
Après ce long article, tu connais maintenant toutes les méthodes pour calculer les puissances d’une matrice. Maîtriser ces méthodes te permettra à coup sûr de briller sur les exercices d’Algèbre EDHEC/EM. Cela est totalement nécessaire pour aborder sereinement les épreuves Parisiennes.
Tu peux enfin consulter nos autres ressources mathématiques ici.
