Dans cet article, tu trouveras les différentes méthodes utilisées pour prouver que deux endomorphismes sont égaux. Cela peut être utile, car il y aura alors généralement un endomorphisme beaucoup plus simple à manipuler que l’autre.
Dans tout l’article, on considérera \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), \(\Phi\) et \(\Psi\) deux endomorphismes de \(E\).
Méthode 1 : en utilisant une base de \(E\)
Pour prouver que deux endomorphismes sont égaux, la méthode la plus utilisée est celle qui nécessite l’utilisation d’une base du sous-espace vectoriel, que l’on notera \({B}=(e_i)_{1 \le i \le n}\).
En effet, si \(\forall i \in [\! [1,n]\!]; \Phi(e_i) = \Psi(e_i)\), alors on en déduit que \(\Phi\) = \(\Psi\).
Méthode 2 : en utilisant les matrices représentatives des endomorphismes
Parfois, l’énoncé donne deux matrices différentes et demande de montrer que les endomorphismes associés sont les mêmes.
Pour ce faire, il s’agit de vérifier que les matrices concernées représentent le même endomorphisme dans des bases différentes (donc qu’elles sont semblables). Généralement, il suffit alors d’utiliser une base (autre que la base canonique) indiquée par l’énoncé, ou alors de diagonaliser (si possible) la matrice représentative de l’endomorphisme dans la base canonique.
Si ces deux techniques n’ont pas fonctionné, il faut alors trouver par tâtonnements une matrice de passage et une autre base qui feraient l’affaire.
À noter qu’il est souvent plus simple, une fois que l’égalité a été prouvée, d’utiliser une matrice plutôt que l’autre.
Méthode 3 : en calculant la norme de la différence
Il s’agit d’une méthode généralement oubliée des candidats, alors qu’elle leur permettrait de se distinguer aux yeux du correcteur.
En effet, pour montrer que \(\Phi\) et \(\Psi\) sont égaux, il suffit de calculer \( \|\Phi – \Psi \| \) (la norme est réservée aux maths approfondies étant donné qu’elle utilise des notions d’algèbre bilinéaire).
Si le résultat est égal à 0, alors les propriétés bien connues sur les normes nous permettent d’affirmer que \(\Phi\) – \(\Psi\) = 0, soit \(\Phi\) = \(\Psi\).
Méthode 4 : en montrant l’égalité pour tout \(x \in E\)
Pour cette méthode, on va se débrouiller pour montrer :
\( \forall x \in E, \Phi(x) = \Psi(x)\), et comme \(\Phi\) et \(\Psi\) sont deux endomorphismes définis sur \(E\), on peut écrire que :
\(\Phi = \Psi\).
N’hésite pas à consulter toutes nos ressources mathématiques !
