Trigonométrie : fonctions cosinus et sinus décryptées

Salut à toi, jeune préparationnaire ! Voici des fonctions que tu ne vas avoir de cesse de retrouver tout au long de ces deux (ou trois) années. C’est pourquoi il est impératif que non seulement tu te familiarises avec elles et leurs propriétés, mais aussi et surtout que tu les connaisses sur le bout des doigts. Mais ne t’inquiète pas, déroule cet article et tu vas vite te rendre compte qu’en réalité, les fonctions trigonométriques (on peut aussi dire fonction de trigonométrie par abus de langage), c’est assez simple. Attention, cet article est réservé aux maths approfondies, les fonctions de trigonométrie cosinus (cos) et sinus (sin) n’étant pas au programme des maths appliquées.

Tu peux approfondir les notions sur la trigonométrie en consultant notre article sur les fonctions trigonométriques hors programme cosh et sinh !

Quel est l’intérêt des fonctions de trigonométrie ?

Les fonctions trigonométriques que tu vas voir revenir tout le temps en maths approfondies sont les fonctions : cos, sin, tan et arctan.

Petite information d’ailleurs pour tes colles (puis les oraux) : pense bien à prononcer en entier « cosinus », « sinus », « tangente », « arctangente », et non pas « cos », « sin », « tan », « arctan » lors de tes prestations orales en maths. Certains professeurs sont très à cheval là-dessus et ce serait dommage de commencer à les mettre de mauvais poil dès le début de ton exercice.

Ensuite, si les concepteurs raffolent de ces fonctions, c’est qu’outre leurs propriétés propres, elles permettent de construire des exercices très intéressants qui croisent plusieurs notions du programme. Ainsi, un exercice type EDHEC/EM classique revient à étudier les propriétés de la fonction arctan à travers l’étude d’intégrales. Et les polynômes de Tchebychev, dont la définition repose sur celles des fonctions cos et sin, est un grand classique des exercices type Parisiennes.

Focus sur cosinus et sinon : les fonctions aux fondements de la trigonométrie

Les fonctions cosinus et sinus sont très importantes à maîtriser d’autant plus que ces fonctions trigonométriques sont connues depuis la seconde voire la troisième. Ces fonctions sont néanmoins moins présentes qu’avant puisque les complexes ne sont plus au programme. Mais voici une fiche récapitulative de ce qu’il faut savoir à propos de ces deux fonctions.

Définition des fonctions cosinus et sinus

Soit \(x\) un réel et \(M(x)\) le réel associé sur le cercle trigonométrique.

• On définit le cosinus comme étant l’abscisse du point \(M(x)\) sur le cercle trigonométrique
• On définit le sinus comme étant l’ordonnée du point \(M(x)\) sur le cercle trigonométrique

Donc :
\[
\forall x \in \mathbb{R}, \, \cos(x) \in [-1,1] \text{ et } \sin(x) \in [-1,1].
\]

Et par le théorème de Pythagore :
\[
\forall x \in \mathbb{R}, \, \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1.
\]

Valeurs classiques de cos et de sin

Propriété des fonctions de trigonométrie cosinus et sinus

• Ensemble de définition : Les fonctions cosinus et sinus sont toutes les deux définies, continues et \( C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\),
• La fonction tangente, elle, est continue et dérivable sur \(\mathbb{R} \backslash \{(2k + 1) \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \} \) et : \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad \cos'(x) = -\sin(x) \quad \text{et} \quad \sin'(x) = \cos(x).
  \]\[
  \forall x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \left(2k + 1\right) \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}, \quad \tan'(x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}.
  \]
• Périodicité : Les fonctions cosinus et sinus sont toutes les deux \(2\pi\) périodique. C’est-à-dire: \[
  \forall x \in \mathbb{R}, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos(x), \quad \sin(x + 2\pi) = \sin(x).
  \]
• Parité : La fonction cosinus est paire et la fonction sinus et tangente sont impaires.
  C’est-à-dire:\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad \cos(-x) = \cos(x) \quad \text{et} \quad \sin(-x) = -\sin(x).
  \]\[
  \forall x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \left(2k + 1\right) \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}, \quad \tan(-x) = -\tan(x).
  \]
• Non injectivité :
  Soient \( x \) et \( y \) deux réels :
  \[
  \begin{align*}
  \cos(x) = \cos(y) &\iff \exists k \in \mathbb{Z}, \quad x = y + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -y + 2k\pi, \\
  \sin(x) = \sin(y) &\iff \exists k \in \mathbb{Z}, \quad x = y + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi – y + 2k\pi.\end{align*}
  \]
  Soient \(x\) et \(y\) des réels de \(\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}\):
  \[
  \tan(x) = \tan(y) \iff \exists k \in \mathbb{Z}, \, x = y + k\pi
  \]

Focus sur les domaines de définition des fonctions autour de la trigonométrie

Certaines questions dans les sujets types EDHEC/EM reviennent parfois sur les fonction de trigonométrie. Pour la rigueur de ta copie, c’est bien sûr important que tu sois bien au point à ce sujet.

• Les fonctions cosinus et sinus sont toutes les deux définies et continues et dérivables sur \(\mathbb{R}\). Elles sont cependant respectivement paire et impaire sur \(\mathbb{R}\).
• La fonction tangente, elle, est continue et dérivable sur \(\mathbb{R} \backslash \{(2k + 1) \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \} \).
• La fonction arctangente est la bijection réciproque de la fonction tangente, mais restreinte à l’intervalle \([- \frac{\pi} {2}, \frac{\pi} {2}]\). Elle est donc continue sur \(\mathbb{R}\).

La fonction arctangente est représentée ainsi :

Propriétés à partir du cercle trigonométrique

La maitrise du cercle de trigonométrie est un incontournable si tu souhaites retrouver ces formules de trigo, grâce à celui-ci, on retrouve les formules évoquées dans les propriétés précédemment :

• Cosinus :\[
  \begin{aligned}
  \cos(\pi + x) &= -\cos(x) \\
  \cos(\pi – x) &= -\cos(x) \\
  \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) &= -\sin(x) \\
  \cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right) &= \sin(x)
  \end{aligned}
  \]
• Sinus :\[
  \begin{aligned}
  \sin(\pi + x) &= -\sin(x) \\
  \sin(\pi – x) &= \sin(x) \\
  \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) &= \cos(x) \\
  \sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right) &= \cos(x)
  \end{aligned}
  \]
• Tangente: \[
  \begin{aligned}\tan(\pi -\theta) = – \tan(\theta) \\
  \tan(\pi + \theta) = \tan(\theta) \end{aligned}
  \]

Les fonctions de trigonométrie illustrées

Les fonctions trigonométriques possèdent de nombreuses propriétés qui peuvent chacune t’être très utiles. Donc, retiens-les bien !

Sois d’ailleurs précis·e lorsque tu les apprends afin de ne pas oublier par exemple qu’une fonction est strictement croissante, et non seulement croissante, etc. Car les correcteurs sont doublement attentifs à la rigueur lorsqu’il s’agit des fonctions trigonométriques et sans cela, tu peux toi-même facilement t’emmêler les pinceaux.

• Les fonctions cosinus et sinus sont toutes les deux périodiques de période \(2\pi\). Ce qui signifie par exemple que : \(\forall \theta \in \mathbb{R}, \cos(\theta + 2\pi) = \cos(\theta)\).

C’est notamment ce que tu peux observer sur le graphique suivant, qui représente la fonction \(\cos\) en vert et la fonction \(\sin\) en rouge :

• La fonction tangente, elle, est croissante sur \(\mathbb{R} \backslash \{(2k + 1) \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \} \).
• La fonction arctangente, elle, est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
• Le sinus établit une bijection de \([- \frac{\pi} {2}, \frac{\pi} {2}]\) sur \([-1, 1]\).
• La cosinus établit une bijection de \([0, \pi]\) sur \([-1, 1]\).

La trigonométrie expliquée dans une vidéo très complète

Si des paroles sont mieux que des mots pour ta compréhension de la trigonométrie, on t’invite à aller voir cette merveilleuse vidéo explicative de Ambroise réalisée sur notre chaîne youtube, il détaille vraiment tout sur tout de la trigonométrie dans les moindres détails…

Les formules incontournables de la trigonométrie

Voici les cinq formules incontournables que tu auras très souvent à utiliser lorsque tu étudieras des fonctions trigonométriques. Tu remarqueras d’ailleurs que les deux dernières peuvent être retrouvées à l’aide des deux premières !

\begin{align*}
\cos(a + b) &= \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b) & \cos(a – b) &= \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) \\
\sin(a + b) &= \sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a) & \sin(a – b) &= \sin(a)\cos(b) – \cos(a)\sin(b) \\
\tan(a + b) &= \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b} & \tan(a – b) &= \frac{\tan a – \tan b}{1 + \tan a \tan b} \\
\end{align*}

\(\cos(\theta)^2 + \sin(\theta)^2 = 1\)

Démonstration pour \tan(a+b)

\[
\begin{align}
\tan(a+b) &= \frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} \\
&= \frac{\sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b)} \\
&= \frac{\cos(a)\cos(b) \left(\frac{\sin(a)}{\cos(a)} + \frac{\sin(b)}{\cos(b)}\right)}{\cos(a)\cos(b) \left(1 – \frac{\sin(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b)}\right)}
&\text{en mettant en facteur } \cos(a)\cos(b) \\
&= \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}
\end{align}
\]

CQFD

Les formules de trigonométrie très utiles

Afin de te faciliter la vie, il existe de nombreuses techniques pour retenir les formules de trigonométrie. Celle que je préférais était de tracer rapidement un cercle trigonométrique sur mon papier de brouillon (ou même au tableau lors d’une colle, je l’avais notamment fait aux oraux de l’ESCP et ça leur avait beaucoup plu).

Ensuite, je prenais l’exemple d’un point quelconque sur mon cercle, disons l’angle \(\theta\). Je le reliais avec des lignes droites aux points \(\theta + \pi\) et \(\theta – \pi\), voire éventuellement \(\frac{\pi} {2} – \theta\) et \( \frac{\pi} {2} + \theta \) lorsque cela s’imposait.

Enfin, je n’avais qu’à lire sur ma feuille ou mon tableau les valeurs de \(\sin(\theta + \pi)\) ou \(\cos(\frac{\pi} {2} – \theta)\) par exemple et d’en déduire la formule générale.

À la lecture, ça peut te sembler un peu laborieux, mais je t’assure, entraîne-toi quelques fois et tu verras vite combien c’est simple et rapide. En plus, cela t’évitera de te tromper aux concours sous le coup du stress et de devoir refaire tous tes calculs plus loin.

Mais voici tout de même quelques-unes des formules fondamentales à connaître ou à savoir retrouver

\(\cos(\pi + \theta) = – \cos(\theta)\)                \(\cos(\pi – \theta) = \cos(\theta)\)                 \(\tan(\pi -\theta) = – \tan(\theta)\)

\(\cos(\frac{\pi} {2} – \theta) = \sin(\theta)\)                    \(\cos(\frac{\pi} {2} + \theta) = – \sin(\theta)\)            \(\tan(\pi + \theta) = \tan(\theta)\)

\(\sin(\pi – \theta) = \sin(\theta)\)                     \(\sin(\pi + \theta) =  – \sin(\theta)\)

\(\sin(\frac{\pi} {2} – \theta) = \cos(\theta\)                      \(\sin(\frac{\pi} {2} + \theta) = \cos(\theta)\)

Formules de linéarisation autour de cosinus et sinus

Lorsqu’on se retrouve avec des cosinus ou des sinus au carré dans des intégrales, il est possible de se débarrasser du carré grâce à une intégration par parties. Mais il est risqué de faire une IPP car cela n’est pas toujours possible. La méthode est donc de linéariser (ie. enlever le carré). Voici les deux formules à connaitre:\[
\begin{aligned}
\forall x \in \mathbb{R}, \quad \cos^2(x) &= \frac{1 + \cos(2x)}{2} \\
\forall x \in \mathbb{R}, \quad \sin^2(x) &= \frac{1 – \cos(2x)}{2}
\end{aligned}
\]

Voici la démonstration de la première formule :

Soit \( x \in \mathbb{R} \).

On a :
\[
\begin{align}
\cos(2x) &= \cos(x + x) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x) \\
&= \cos^2(x) – (1 – \cos^2(x)) \\
&= 2\cos^2(x) – 1
\end{align}
\]

Donc :
\[
1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)
\]

On a donc bien :
\[\boxed{\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}}\]

Formules de trigonométrie lourdes mais à connaitre

Ces 4 formules sont un peu compliquées à apprendre, mais tombent régulièrement. Il faut donc les connaître et les recracher le jour j. Peu de personnes prennent le temps d’apprendre ces formules, tu peux donc faire la différence si tu les apprend.

\[
\begin{aligned}
\cos p + \cos q &= 2 \cos \left( \frac{p+q}{2} \right) \cos \left( \frac{p-q}{2} \right) \\
\cos p – \cos q &= -2 \sin \left( \frac{p+q}{2} \right) \sin \left( \frac{p-q}{2} \right) \\
\sin p + \sin q &= 2 \sin \left( \frac{p+q}{2} \right) \cos \left( \frac{p-q}{2} \right) \\
\sin p – \sin q &= 2 \cos \left( \frac{p+q}{2} \right) \sin \left( \frac{p-q}{2} \right)
\end{aligned}
\]

Moyen mémo-technique: retiens 2coco – 2sisi 2sico 2cosi, ça m’a aidé pour apprendre ces formules 😉

Voici la démonstration de la première formule:

\[
\begin{align}
\cos p + \cos q &= \cos\left(\frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}\right) + \cos\left(\frac{p+q}{2} – \frac{p-q}{2}\right) \\
&= \cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right) – \sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right) \\
&\quad + \cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right) + \sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right) \\
&= 2 \cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos\left(\frac{p-q}{2}\right)
\end{align}
\]

Petite astuce pour les intégrations par parties avec cos et sin

Les intégrations par parties sont souvent utiles lorsque tu travailles avec les fonctions cosinus et sinus mais il faut parfois avoir quelques astuces pour s’en sortir, en voici une.

Essayons de résoudre \( \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) e^t \, \mathrm{d}t \) grâce à une intégration par parties en dérivant \(\cos(t)\).

\[
\begin{align}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) e^t \, \mathrm{d}t &= \left[\cos(t) e^t\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(t) e^t \, \mathrm{d}t \\
&= -1 + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(t) e^t \, \mathrm{d}t \\
&= -1 + \left[\sin(t) e^t\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} – \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) e^t \, \mathrm{d}t \\
&= -1 + e^{\frac{\pi}{2}} – \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) e^t \, \mathrm{d}t
\end{align}
\]

Maintenant qu’on se retrouve avec la même intégrale qu’au début, il suffit de passer l’intégrale de l’autre côté. On a alors :

\[
2 \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) e^t \, \mathrm{d}t = -1 + e^{\frac{\pi}{2}}
\]

On a donc prouvé que :

\[
\fbox{\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) e^t \, \mathrm{d}t = \frac{-1 + e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)}
\]

Cosinus, Sinus et Tangente en python

Voici comment utiliser les fonctions sinus et cosinus en python

Notions hors programme en rapport avec les fonctions sinus et cosinus

• Les intégrales de Fourier (mais il y a des nombres complexes…)
• Les intégrales de Wallis
• Les fonctions sinh et cosh
• Les fonctions arcsin et arccos

Les sujets en rapport avec les fonctions de trigonométrie sinus et cosinus

Avec ça tu pourras performer au concours sur les fonctions de trigonométrie.  Je te conseille de faire aussi des annales à fond :

• ECRICOME  2019
• EDHEC 2018, 2022
• EML 2005, 2014
• ESSEC 2016

Et il y a encore bien d’autres annales traitant de ces deux fonctions classiques cosinus et sinus.

Aller plus loin sur les fonctions de trigonométrie

Les fonctions de trigonométries peuvent être approfondies sous différentes formes. En effet, les fonctions sinus et cosinus ont donné lieu à de nombreuses notions hors programme (qui se trouvent régulièrement dans les sujets). Parmi elles, tu peux retrouver : voici un tableau récapitulatif de toutes nos ressources de trigonométrie sur Major Prépa, que ce soit aussi bien en termes de notions de cours comme de notions hors programme :

Et voilà, te voici maintenant armé·e pour répondre à toutes les questions que l’on pourrait te poser sur les fonctions trigonométriques cosinus et sinus. À toi de t’entraîner afin de savoir comment exploiter ces outils, bon courage ! Et si tu veux aller plus loin et en savoir plus sur d’autres notions de base, voici quelques articles que je te conseille d’aller lire :

Focus sur les inégalités de convexité
Les suites arithmético-géométriques
Inverser une matrice, c’est facile !

N’hésite pas à consulter nos autres ressources mathématiques !