Le calcul de sommes doubles peut être fastidieux et il peut être utile de maîtriser quelques méthodes pour les calculer à l’aide de Python. Chaque méthode est différente et possède son intérêt et ses inconvénients, de la méthode itérative à la méthode vectorielle. Étudions donc ces quelques façons de les programmer !
Introduction
Le calcul des sommes doubles, qu’il s’agisse d’une matrice, d’un tableau à deux dimensions ou d’une expression mathématique, est une tâche fondamentale en programmation scientifique et en analyse de données. En mathématiques, une somme double est notée \(\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{i,j}\). Elle représente la somme de tous les éléments \(a_{i,j}\) d’un tableau à deux dimensions.
En Python, la manière de calculer cette somme a un impact direct sur la lisibilité du code et, plus important encore, sur la performance, surtout lorsque les indices \(m\) et \(n\) des deux sommes sont grands.
Dans cet article, nous allons explorer en profondeur différentes méthodes pour effectuer des sommes doubles, en allant des boucles classiques aux approches vectorisées et, enfin, à une méthode qui permet de faire le compromis entre les deux méthodes que tu auras vues précédemment.
La méthode itérative : la double boucle ‘for’
Cette approche est la plus intuitive et la plus directe, car elle calque la définition mathématique de la somme double. L’idée est de parcourir chaque élément du tableau un par un en utilisant deux boucles imbriquées. La boucle extérieure parcourt les lignes (indice \(i\)) et la boucle intérieure parcourt les colonnes (indice \(j\)). À chaque itération, l’élément \(a_{i,j}\) est ajouté à une variable d’accumulation.
Avantages et inconvénients :
Extrêmement lisible et facile à comprendre. C’est la première méthode que tout programmeur apprend pour manipuler des données 2D. Elle est universelle et ne nécessite aucune bibliothèque externe. Cependant, cette méthode est très inefficace pour les grands ensembles de données. L’interpréteur Python est lent à exécuter des boucles. Chaque opération d’addition et de lecture d’indexation est un appel séparé qui prend du temps. Tu peux faire le test avec de grands indices sur tes sommes pour voir le temps de réponse de Python.
Prenons un exemple simple pour calculer cette somme : \(\sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{i^2+j^2}\)
Ici, pour \(i=1\), on calcule toutes les valeurs de \(\frac{1}{i^2+j^2}\) en faisant varier \(j\). On réitère ce processus pour \(i=2 , i=3 ….\) et l’on somme le tout. Bref, on passe par la définition directe des sommes doubles.
La méthode par vectorisation : NumPy
La vectorisation est la clé de la haute performance en Python pour le calcul des sommes doubles. Au lieu de travailler sur des éléments individuels dans des boucles, on effectue des opérations sur des tableaux entiers, ce qui permet d’obtenir un résultat plus rapidement. Il s’agit donc pour cela d’importer la bibliothèque NumPy qui permet de travailler avec des structures de données optimisées.
Pour une somme double, NumPy propose une fonction np.sum() qui, appliquée à un tableau à deux dimensions, additionne tous ses éléments d’un seul coup. Cette fonction est de loin la méthode la plus rapide.
En gardant le même calcul de somme que dans l’exemple précédent, on écrit ainsi le script suivant pour obtenir un résultat similaire (mais plus rapidement pour de grandes valeurs de \(N\)).
Les lignes 4 et 5 permettent respectivement de créer un vecteur ligne constitué des entiers de \(1\) à \(N\) et de transformer ce vecteur ligne en un vecteur colonne.
Ceci dit, la ligne 6 permet de calculer le cœur de la somme que l’on cherche à effectuer puisqu’elle crée une matrice de taille \(N*N\) (tu peux vérifier cela en cherchant que la taille de \(I^2\) et de \(J^2\) est \(N*N\), donc : puisque la somme ne modifie pas la taille de la matrice, on obtient bien une matrice de taille \(N*N\)).
Enfin, « M_valeurs » désigne la matrice précédente pour laquelle on calcule l’inverse de chacun de ses éléments, de sorte que l’élément d’indice \(i,j\) est \(\frac{1}{i^2+j^2}\).
On finit ensuite par calculer la somme de tous ces éléments pour conclure le script !
La méthode par compréhension : un compromis des méthodes précédentes
La compréhension de liste (ou plus efficacement, de générateur) est un idiome Python qui combine les avantages des deux méthodes précédentes. On peut utiliser une compréhension de générateur imbriquée pour créer un itérateur qui parcourt tous les éléments de la matrice. La fonction ‘sum()’ native peut ensuite consommer cet itérateur pour calculer la somme totale.
Parmi les avantages de cette méthode : le code est très court, lisible et performant sans dépendance externe à des bibliothèques entières comme NumPy.
Autre aspect intéressant qui accélère le calcul de la somme : cette méthode est plus économe en mémoire qu’une liste, car elle ne stocke pas tous les résultats intermédiaires. Cependant, le script peut devenir difficile à lire si l’expression à l’intérieur de la compréhension est trop complexe.
Conclusion
En définitive, tu comprendras aisément que ces trois méthodes ont leur intérêt. Il est donc utile de connaître et de maîtriser ces quelques méthodes appliquées au calcul des sommes doubles. De manière générale, la troisième méthode n’est pas abordée par les professeurs, car elle est liée à la notion de calcul fonctionnel en Python (notion totalement hors programme). Pour autant, sa simplicité incite à sa connaissance.
En tant qu’étudiant de prépa, la maîtrise de ces différentes approches est essentielle pour écrire des programmes non seulement corrects, mais aussi efficaces et adaptés au contexte d’utilisation.
